celia cruz

FLUJO VISCOSO

FLUJO VISCOSO

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si un fluido fluye estacionalmente por una tubería horizontal estrecha y de sección transversal constante, la presión será constante a lo largo de la tubería. En la práctica se observa una caída de presión según nos desplazamos en la dirección del flujo. Considerando este fenómeno de otro modo, podemos ver que se requiere una diferencia de presión de empujar y conseguir la circulación de un fluido a través  de un tubo horizontal.es necesaria esta diferencia de presión a causa de una fuerza o resistencia o de frenado que ejerce el tubo sobre la capa de fluido que está en contacto con él y de la fuerza de arrastre que ejerce cada capa de fluido que sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de resistencia se denominan fuerzas viscosas. Como resultado de su presencia, la velocidad del flujo tampoco es constante a lo largo del diámetro de la tubería siendo mayor cerca de su centro y menor cerca de sus bordes, en donde el fluido estra en contacto con las paredes de la misma sea P₁ la presión en el punto 1 y P₂  la presión en el punto 2 a la distancia L (siguiendo la dirección de la corriente) del anterior. La caída de presión Δt = P₁ ̶  P₂ es proporcional al caudal:

ΔP = P₁ ̶  P₂ = I_V R

En donde I_V  = vA  es el caudal y la contaste de proporcionalidad R es la resistencia al flujo, que depende de la longitud L del tubo, de su radio r y de viscosidad del flujo.

 cuando un fluido viscoso fluye por una tubería, su velocidad es mayor en el centro de la misma. Próximo a las paredes de la tubería el fluido tiende a permanecer en reposo.

a continuación definiremos el coeficiente de viscosidad de un fluido  se muestra un fluido confinado entre dos placas paralelas, cada una de ellas de área A y separadas por una distancia z. manteniendo la palca inferior en reposo, se tira de la placa superior con velocidad constante v mediante una fuerza F . Es necesario ejercer una fuerza para tirar de la placa  superior porque el fluido próximo a la placa ejerce una fuerza viscosa de resistencia que se opone al movimiento. La velocidad del fluido entre las placas es prácticamente igual a v en un lugar próximo a la placa superior y próximo a cero cerca de la placa inferior, y varía linealmente con la distancia entre las placas. La fuerza F resulta ser directamente proporcional a la separación z entre placas. La constante de proporcionalidad es el   coeficiente de viscosidad Ƞ:

    F =  Ƞ  vA

                 z          

la unidad de viscosidad en  el SI es el N. s/m² = Pa. S, una unidad  antigua del sistema cgs, pero de uso común, es una dina/ cm², llamada poise  en honor al físico Poiseuille. Estas unidades están relacionadas por

1 Pa . s =  10 poise 

fLUIDOS EN MOVIMIENTO Y LEY DE BERNOULLI

FLUIDOS EN MOVIMIENTO

Cuando un fluido está en movimiento, su flujo se puede caracterizar de dos maneras. Sé que el flujo es viscoso, o laminar, si toda partícula que pasa por un punto específico se desplaza exactamente a lo largo de la trayectoria uniforme seguida por las partículas que pasaron antes por ese punto. La trayectoria se conoce como una línea de corriente . Las diferentes líneas de corriente no pueden cruzarse unas a otras en esta condición de flujo estable, y la línea de corriente en cualquier punto coincide dirección de la velocidad del fluido en ese punto.

Por otra parte, el flujo de un fluido se hace irregular, o turbulento, cuando su velocidad es superior a cierto límite o en cualquier condición que cause cambios abruptos de velocidad. El flujo turbulento se caracteriza por movimientos irregulares del  fluido, llamados corrientes de remolino, como se muestra en la figura 9.22b.

En el  análisis del flujo de fluidos, el término viscosidad se aplica al grado de fricción interna en el fluido. Esta fricción interna está asociada con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se desplazan una respecto a la otra. Un fluido como el queroseno, por ejemplo, tiene una viscosidad menor que el petróleo crudo o la melaza.

Muchas de las características del movimiento de los fluidos se comprenden evaporando el comportamiento de un fluido ideal, el cual satisface las condiciones siguientes:

1.      El fluido es no viscoso', es decir, no hay fuerzas de fricción internas entre capas adyacentes.

2.      El fluido es incompresible. Lo que significa que su densidad es constante.

3.     El movimiento del fluido es estable; es decir, la velocidad, la densidad y la presión en cada punto del fluido no cambian en el tiempo.

4.     El fluido se mueve sin turbulencia. Esto implica que cada elemento del fluido en  una velocidad angular de cero en tomo a su centro; esto es, no puede haber corrientes de remolino presentes en el fluido en movimiento.

•  ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

Representa un fluido que fluye en el interior de un tubo de tamaño no conforme. Las partículas del fluido se desplazan a lo largo de las líneas de corriente el flujo estable. En un intervalo de tiempo pequeño, Δt, el fluido que entra por el extremo inferior del tubo recorre una distancia Δx₁ = v₁ Δt, donde v₁ es la rapidez del fluido en este punto. Si A ₁ es el área de la sección transversal en esta región, entonces la base contenida en la región inferior más oscura es ΔM₁= pA₁ Δx₁ = pA₁ v₁ Δt, donde:

P: es la densidad del fluido. Análogamente, el fluido que sale del extremo superior del área en el mismo intervalo, Δt, tiene una masa de ΔM₂ = pΔ₂ v₂ At. Sin embargo. Dado que la masa se conserva y el flujo es estable, la masa que entra por el fondo del tubo através de A₁, en el tiempo Δt debe ser igual a la masa que sale a través de  A₂ en El mismo intervalo. Por consiguiente, ΔM₁ = ΔM₂, 0

pA₁ v₁ = pA₂ v₂

la ecuación se simplifica a:

A₁v_{1 =} A₂v₂

Esta expresión se conoce como la ecuación de continuidad. Con base en este resultado, vemos que el producto de cualquier área de sección transversal del tubo por la rapidez del fluido en esa sección transversal es una constante. Por consiguiente la rapidez es alta donde el tubo se estrecha y baja donde el tubo tiene un diámetro mayor. El producto Av, cuyas dimensiones son de unidad por volumen de tiempo se conoce como gasto a razón de un flujo de volumen. La condición Av = constante equivale al hecho de que la cantidad de fluido que entra por un extremo del tubo en un intervalo de tiempo dado es igual a la cantidad de fluido que sale del tubo en el mismo intervalo suponiendo que no hay fugas.

Son muchos los casos de la experiencia cotidiana en  los que se observa  a la ecuación de continuidad en acción. Por ejemplo solemos colocar el pulgar sobre el extremo abierto de una manguera de jardín para que el agua se disperse más lejos y con mayor velocidad a medida que se reduce el área de sección transversal de la boquilla, las astas de agua salen de la misma con mayor velocidad y se desplazan  una distancia más larga. Un razonamiento análogo permite explicar porque el humo que sube desde una braza de madera se comporta como lo hace. El humo asciende primero con arreglo a un patrón laminar, se adelgaza a medida que sube, y finalmente adopta un patrón turbulento arremolinado. El humo asciende porque es menos denso que el aire, cuya fuerza de flotación lo acelera hacia riba. A medida que la rapidez de la corriente de humo aumenta, el área de sección transversal de la corriente disminuya como se ve de la ecuación de continuidad, sin embargo, muy pronto la corriente alcanza una rapidez más grande que el flujo laminar ya no es posible. Estudiaremos la relación entre la rapidez.

Una parte de este trabajo se invierte en cambiar la energía cinética del fluido, y otra en edificar su energía potencial gravitatoria. Si m es la masa del fluido que pasa a través de un tubo en el intervalo de tiempo Δt, entonces el cambio de energía cinética del volumen del fluido es:

ΔK =  1   mv₂²  ̶    1   mv₁²

2                 2

El cambio de energía potencial gravitatoria es

ΔU = mgy₂ – mgy₁

Podemos aplicar el teorema del trabajo y la energía, a este volumen de fluido para dar

P₁ V ̶  P₂V    = 1   mv₂²  ̶    1   mv₁²  + mgy₂ – mgy₁

                                                                       2                 2        

Si dividimos cada término entre V y recordamos que  p = m,  esta expresión se reduce

                                                                                                       V

                                                                

P₁   ̶  P₂    = 1   pv₂²  ̶    1   pv₁²  + mgy₂ – mgy₁

                                                                                                             2                 2

Traslademos los términos que se refieren al punto 1 a un lado de la ecuación y los que se refieren al punto 2 al otro lado:

P₁ + 1   pv₁² + mgy₁   = P₂ + 1   pv₂² + mgy₂ 

                                                                                                 2                                                        2         

Ésta es la ecuación de Bernoulli, la cual se suele expresar como:

P + 1   pv² + mgy = constante

                                                                                                               2      

La ecuación de Bernoulli establece establece que la suma de la presión (P), la energía cinética por unidad de volumen (1/2 pv²)  y la energía potencial por unidad de volumen tienen el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.   

Se puede mostrar una consecuencia importante de la ecuación de Bernoulli cois considerando la figura, la cual muestra el flujo de agua a través de un tubo horizontal que se estrecha de una región de área de sección transversal grande a una región área de sección transversal más pequeña. Este dispositivo, conocido como tubo de Vente, sirve para medir la rapidez de flujo de los fluidos. Comparemos la presión en el punto 1 con la presión en el punto 2. Puesto que el tubo es horizontal, y₁ = y₂. y la ecuación aplicada a los puntos 1 y 2 da:

    P₁ + 1   pv₁ ² =P₂ + 1   pv ₂²

                                                                                             2                       2      

La presión P₁ es mayor que la presión P₂, porque v₁ < v₂. Este dispositivo permite medir la rapidez del flujo de los fluidos.

Dado que el agua no retrocede en el tubo, su rapidez en el estrechamiento debe ser mayor que la rapidez v₁. De la ecuación v₂> v₁, significa que P₂, debe ser menor que P₁. Este resultado se suele expresar mediante el enunciado siguiente de fluidos en movimiento rápido ejercen menos presión que los fluidos que se desplazan con lentitud.

Ejemplo de llenado de cubo de agua

Se utiliza una manguera de 1.00 cm de radio para llenar un cubo de 20 litros. Si toma 1.00 minuto en llenar el cubo. ¿Cuál es la rapidez, v, con la que el agua sale de la manguera? (1 litro=10³ cm³)

Solución el área de sección transversal de la manguera es

A=πr²  = π(1.00 cm)²  = π cm²

El gasto es igual al producto Av. Por tanto,

Av= 20.0 litros = 20.0 x 10³ cm³

             min                  60 sg

v= 20.0 x 10³ cm³  = 106 cm/s

         (πr²)(60 sg)

• LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

A medida que un fluido se desplaza a través de un tubo de sección transversal y de elevación variables. La presión cambia a lo largo del tubo. En 1738 el físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) dedujo una expresión fundamental que correlaciona la presión con la rapidez de fluido y la elevación. La ecuación de Bernoulli no es una ley física independiente. Sino una consecuencia de la conservación de la energía aplicada al fluido ideal.

Para deducir la ecuación de Bernoulli supondremos una vez más que el fluido es incompresible, no viscoso y que fluye de manera no turbulenta en estado estable. Considérese el flujo a través de un tubo no uniforme en el tiempo Δt, La fuerza que se ejerce sobre el extremo inferior del fluido es P₁ A₁, donde P₁, es la presión del extremo inferior. El trabajo realizado sobre el extremo inferior del fluido por el flujo que viene por detrás de él.

W₁ = F Δx₁ = P₁ A₁  Δx₁ = P₁  V₁

 Donde  V es el volumen de la región inferior más oscura De manera análoga, el trabajo realizado sobre el fluido de la parte superior en el tiempo Δt es:

W₂ =  ̶   P₂ A₂ Δt₂  =  ̶  P₂ V₂

Recuérdese que el volumen del fluido que pasa a través de A₁ en el tiempo Δt es igual al volumen que pasa a través del A₂ en el mismo intervalo. El trabajo W₂ es negativo porque la fuerza que se ejerce sobre el fluido en la parte superior tiene dirección opuesta a su desplazamiento. Por tanto, el trabajo neto realizado por estas fuerzas en el tiempo Δt  es:

W = P₁ V  ̶   P₂ V

APLICACIÓN (Bolas curvas y buzos)

De la corriente de aire al pasar por la pelota es casi laminar, la pelota se desplaza de derecha a izquierda. Detrás de esta pelota se forma una región de turbulencia. Cuando la pelota se gira en sentido contrario a las manecillas del reloj , las capas de aire próximas a su superficie son arrastradas en la dirección del giro debido a su viscosidad. El efecto combinado del flujo estable de aire y del aire que se arrastra a causa de movimiento de rotación produce las líneas de corriente que se muestran y el patrón de turbulencia correspondiente. La rapidez del aire, debajo de la pelota es mayor que la rapidez encima de ella. Por tanto, por la ecuación de Bernoulli, la presión de aire encima de la pelota es mayor que la presión de aire debajo de la misma, razón por la cual la pelota experimenta una fuerza que la desvía hacia abajo. Cuando un lanzador desea lanzar una pelota curva que se desvíe lateralmente, el eje de rotación debe ser vertical . En cambio, si el lanzador pretende lanzar una “curva hacia abajo", el eje de rotación debe ser horizontal. Las pelotas de tenis y las pelotas de golf con giro sobre  mismas también exhiben sustentación dinámica.

 APLICACIÓN “ATOMIZADORES” EN BOTELLAS DE PERFUME Y ROCIADORES DE PINTURA

Una corriente de aire que pasa sobre un tubo abierto reduce la presión encima del tubo. Esto hace que el líquido suba hacia la corriente de aire, donde se dispersa para formar un fino rocío de pequeñas gotas. Se puede reconocer este así llamado “atomizador" en botellas de perfume y rociadores de pintura. Se utiliza el mismo principio en el carburador de un motor de gasolina. En este caso, la región de baja presión en el carburador se produce por medio del aire que el pistón aspira a través del filtro de aire. La gasolina se vaporiza, se mezcla con el aire y entra al cilindro del motor para quemarse.

APLICACIÓN PALPITACION VASCULAR Y ANEURISMAS

En una persona con arteriosclerosis, el efecto de Bernoulli produce un síntoma llamado palpitación vascular. En esta situación, la arteria se estrecha a consecuencia de la placa acumulada en sus paredes interiores, Para mantener un flujo constante, la sangre debe viajar con una rapidez mayor que la normal a través de la constricción. Si la rapidez de la sangre es suficientemente grande en la región estrechada, la arteria puede colapsarse por efecto de la presión externa, lo que causa una interrupción momentánea del flujo sanguíneo. En este momento no hay un efecto de Bernoulli. Cuando la sangre entra rápidamente a la arteria que se ha estrechado, la presión interna desciende y la arteria se cierra de nuevo. Este tipo de variaciones del flujo sanguíneo se pueden escuchar con un estetoscopio. Si la placa se desprende y llega hasta un vaso más pequeño que lleva sangre al corazón, la persona puede sufrir un ataque cardiaco.

Un aneurisma es un punto débil de una arteria donde las paredes arteriales se han expandido hacia afuera como un globo. La sangre fluye con más lentitud en esta región. Como se puede ver en la ecuación de continuidad, lo que origina un aumento de presión en las cercanías del aneurisma en relación con la presión en otras partes de la arteria. Esta condición es peligrosa porque la presión excesiva puede causar la rotura de la arteria.

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

FLOTACIÓN Y PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Si pesamos un objeto pesado sumergido en agua suspendiéndolo de un dinamómetro), el peso aparente del objeto (la lectura del dinamómetro) es inferior al peso del objeto. Esto es así porque el agua ejerce una fuerza hacia arriba que equilibra parcialmente la fuerza de la gravedad. Esta fuerza es aún más evidente cuando sumergimos un trozo de corcho. Cuando el corcho está completamente sumergido, experimenta una fuerza hacia arriba ejercida por la presión del agua, que es mayor que la fuerza de la gravedad, de manera que el corcho acelera hacia la superficie, en donde flota parcialmente sumergido. La fuerza ejercida por un fluido sobre un cuerpo sumergido en él se denomina fuerza ascensional (o de flotación o empuje). ¹ es igual en modulo al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional igual al peso del fluido desplazado.

Figura : (a) forma de pesar un objeto sumergido en un fluido. (b) diagrama de fuerzas en el que puede verse el peso, w, le fuerza ejercida por el muelle F_β y las fuerzas F₁ y F₂ ejercidas por el fluido que lo rodea. (c) la fuerza ascensional o de flotación B= F₂ y F₁ es la fuerza neta ejercida por el fluido sobre el objeto.

Este resultado se conoce con el nombre de principio de Arquímedes.

Podemos deducir el principio de Arquímedes a partir de las leyes de Newton considerando las fuerzas que actúan sobre una porción de un fluido y observando que, cuando está en equilibrio estático, la fuerza neta sobre la misma debe ser nula. La figura  muestra las fuerzas verticales que actúan sobre un objeto que se pesa mientras está sumergido, es decir, la fuerza de la gravedad w dirigida hacia abajo; la fuerza del dinamómetro F_d  que actúa hacia arriba; una fuerza F_1, que actúa hacia abajo, debida a la presión del fluido sobre la superficie superior del objeto y una fuerza  F_2, que actúa  hacia arriba debida a la presión del fluido sobre la superficie inferior del objeto. Como la lectura del dinamómetro indica una fuerza inferior a su peso, la fuerza F₂  debe ser mayor en modulo que F_{1 .} La diferencia en módulo de estas dos fuerzas es la fuerza ascensional B= F_2- F₁  (figura 13.9c). La fuerza ascensional tiene lugar porque la presión del fluido en el fondo del cuerpo es mayor que en la parte superior.

En la figura  se prescinde del dinamómetro y el objeto sumergido se ha reemplazado por un volumen igual de fluido (indicado por líneas de puntos). La fuerza ascensional  B= F_2- F₁   que actúa sobre este volumen de fluido es la misma que actuaba sobre nuestro objeto original, ya que el flujo que lo rodea es el mismo. Como este volumen de fluido está en equilibrio, la fuerza resultante que actúa sobre él debe ser cero. La fuerza ascensional es igual al peso del fluido en este volumen:

Figura 13.10 la misma situación que se daba en la figura 13.9, pero ahora el objeto ha sido sustituido por un volumen igual del fluido. Las fuerzas F₁ y  F₂  debidas a la presión del fluido son las mismas que las fuerzas correspondientes ejercidas sobre el objeto en la figura 13.9. La fuerza ascensional o de empuje es igual al peso del fluido desplazado. Wf.

B= wf

Obsérvese que este resultado no depende de la forma del objeto sumergido. Si consideramos una porción cualquiera de forma irregular del fluido, sobre ella deberá actuar una fuerza ascensional debida al fluido que la rodea y que resulta ser igual al peso dicha porción. Por lo tanto, hemos deducido al principio de Arquímedes.

El rey Hieron II le había encomendado a Arquímedes (287-212a.C.) la tarea de determinar si una corona fabricada para él estaba hecha toda ella de oro o si, por el contrario, contenía algún metal más barato como la plata. El problema consistía en determinar la densidad de un objeto de forma irregular, como la corona, sin destruirlo. Según cuenta la historia, Arquímedes encontró la solución mientras se bañaba e inmediatamente echo a correr desnudo por las calles de Siracusa gritando “¡Eureka!” (“¡lo encontré!”). Este destello de comprensión precedió a las leyes de newton, a partir de las cuales puede deducirse el principio de Arquímedes, en 1900 años aproximadamente. Arquímedes encontró lo que se constituye un procedimiento simple y exacto para comparar la densidad de la corona con la densidad del oro utilizando una balanza. Puso la balanza en un cuenco y coloco la corona en un platillo y oro puro de igual masa en el otro. Entonces añadió agua al cuenco, sumergiendo la corona y el oro puro. La balanza oscilo, elevando la corona- indicando que la fuerza ascensional que actuaba sobre esta era mayor que la que actuaba sobre el oro, porque el volumen del agua desplazado por la corona era mayor que el desplazado por el oro puro. La corona era menos densa que el oro puro.

La densidad específica de un cuerpo es su peso dividido por el peso de un volumen igual de agua. Pero, de acuerdo con el principio de Arquímedes, el peso de un mismo volumen de agua es igual a la fuerza ascensional sobre el cuerpo cuando está sumergido en dicho líquido. Por consiguiente, es igual a la pérdida de peso del cuerpo cuando se pesa sumergido en agua. Así pues.

Densidad especifica =                                   peso                                    

                                    Fuerza ascensional cuando está sumergido en agua

                                                        = w  

                                                             B_agua               

 El peso aparente w_a  de un objeto sumergido en un fluido es la diferencia entre su peso w y le fuerza ascensional B.

W_ap = w – B

 (a)    La corona y la pepita de oro tienen                   (b) la corona desplaza más agua que la pepita de           el mismo peso.                                                             oro.

EJEMPLO 13.5 ¿Es oro?

 Una amiga está preocupada por un anillo de oro que compro en un viaje reciente. El anillo era caro y nuestra amiga quiere saber si realmente es de oro o si de otro material. Decidimos ayudarle usando nuestros conocimientos de física. Pesamos el anillo y encontramos que pesa 0,158 N. usando una cuerda lo colgamos de una balanza, lo sumergimos en agua y entonces pesa 0,150 N. ¿es de oro el anillo?

Planteamiento del problema si el anillo es de oro puro, su densidad especifica (su densidad relativa al agua) será de 19,3 (véase la tabla 13.1). Usando la ecuación 13.12 como referencia, determinar la densidad especifica del anillo.

     1.      La ecuación 13.12 relaciona la densidad especifica del anillo con el cociente entre su peso w y le fuerza de empuje B cuando está sumergido en agua.

Densidad especifica = w   =   w 

                                    B_agua      B

     2.      Cuando el cuerpo está sumergido, B se iguala con el peso menos el peso aparente w_ap:

B = W- W_ap

    3.      Se combinan los pasos 1y 2 y se despeja la densidad especifica:

Densidad especifica = w   =   w 

                                    B        w-w_ap

                                          =   O,158N            =  19,3

                                              0,158N-0,150N 

     4.      Se compara la densidad especifica del anillo con la densidad especifica del oro, que es 19,3:

19,3 -19,3    =  EL ANILLO ES ORO PURO

                                

Ejercicio        un bloqueo de un material desconocido pesa 3 N y tiene un peso aparente de 1,89 N cuando se sumerge en agua. ¿De qué material se trata? (respuesta la densidad especifica del material es 2,70, que es la densidad especifica del aluminio, por lo tanto el bloque es de aluminio.)

Ejercicio        un bloque de aluminio pesa 3N cuando está rodeado de aire. ¿Cuál es el peso real del bloque? (respuesta w_ap = w –B, donde B = P_aire Vg. De la tabla 13.1 se obtiene P_aire = 1,293 kg/ m³  y P_alum = 2,70x 10³ kg/m³. Por lo tanto, w = 3, 0014N, que es solo 0,048% mayor que el peso en aire. Evidentemente, la fuerza ascensional debida al aire actuando sobre líquidos o solidos puede usualmente ignorarse.  

    Ejercicio un pedazo de plomo (densidad especifica = 11,3) pesa 80 N en aire. ¿Cuánto pesa sumergido en agua? (respuesta 72,9 N.)       

Supongamos que la densidad del bloque es mayor que la densidad del fluido  del entorno. Y que tanto el bloque como el plato  de la balanza están completamente sumergidos en él. La fuerza gravitaría  que actúa sobre el bloque  vale w su peso, y la balanza esta ajuntada  de, modo que marca cero cuando el plato no aguanta  el bloque como se muestra en la figura  si se coloca en el bloque el plato de la balanza

 La lectura de la escala  es el peso aparente w _ap  del bloque. Cuando el bloque esta sobre la balanza, este está en contacto directo con el fluido, excepto con aquellos puntos de la base donde se apoya en el plano de la balanza. Si suponemos que este no es completamente plano, sino que tiene  rugosidades  el bloque únicamente se apoya en las regiones más altas del plano. (En las más bajas. El fondo del bloque está en contacto con el fluido) analicemos ahora esta situación para  saber la lectura de la escala de la balanza depende de el o en el del área del contacto de la superficies de bloque y del plato del a balanza  mientras el bloque descansa sobre el plato  de la balanza  la fuerza neta ejercida  por el fluido sobre el bloque  f_f  resulta de una combinación  de fuerza hacia abajo  ejercida por aquellas regiones  de la superficie interior del bloque  con las que está en contacto   si el fluido estuviera  en contacto  con una gran porción de la superficie  inferior del bloque, esta fuerza podría ir dirigida hacia arriba  las otras dos fuerzas verticales  que actúan sobre el bloque son la fuerza  gravitatoria w  y la fuerza hacia arriba f_p  ejercida por el plato en las regiones  de contacto directo se representa el bloque fuera de la balanza. Y en su lugar la cantidad equivalente  de fluido de forma y tamaño idénticos (representado por la línea descontinua)  las mismas regiones que estaban en contacto  con el bloque ahora  están  con la muestra de fluido  y en consecuencia las fuerzas que actúan  son la fuerza ejercida por el resto del fuido f_f  la fuerza hacia arriba ejercida por el plano f_p  y la fuerza gravitatoria  w_f  las fuerzas f_{f y} f_f´ son iguales ya que en cada punto  de contacto con  el fluido  y la muestra de fluido  las fuerzas son exactamente las mismas  que entre el fluido  y el bloque .

Cuando el bloque esta sobre el plato de la balanza.  Está en el equilibrio. Y por lo tanto, f _p= f_f + w, o bien.

f _{p -} f_{f- w=0}

Y cuando el bloque se saca del plato dela  balanza. La muestra de fluido que la remplaza  está en equilibrio .y por lo tanto

F_p´- f_f´-w_f = 0

Si se restan las dos ecuaciones  anteriores teniendo en cuenta  que f_f´_y= y se agrupan los términos, nos queda

F_p- f_f´-=w- w_f

En donde F_{p -} F_p´ corresponde al cambio de la lectura  cuando se saca el bloque del plano  de la balanza por lo tanto F_p- F_p´ es el modulo del peso aparente del bloque sumergido. Y en consecuencia.

^Wap=W-Wf

Normalmente  se denomina a w – w  fuerza esencial B  con lo cual resulta 

B =w - w_ap =  w_f

esta expresión para la fuerza esencial  coincide con la de la ecuación  que se estableció con el fluido estaba en contacto directo  con toda la superficie  del objeto sumergido.