PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

FLOTACIÓN Y PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Si pesamos un objeto pesado sumergido en agua suspendiéndolo de un dinamómetro), el peso aparente del objeto (la lectura del dinamómetro) es inferior al peso del objeto. Esto es así porque el agua ejerce una fuerza hacia arriba que equilibra parcialmente la fuerza de la gravedad. Esta fuerza es aún más evidente cuando sumergimos un trozo de corcho. Cuando el corcho está completamente sumergido, experimenta una fuerza hacia arriba ejercida por la presión del agua, que es mayor que la fuerza de la gravedad, de manera que el corcho acelera hacia la superficie, en donde flota parcialmente sumergido. La fuerza ejercida por un fluido sobre un cuerpo sumergido en él se denomina fuerza ascensional (o de flotación o empuje). ¹ es igual en modulo al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional igual al peso del fluido desplazado.

Figura : (a) forma de pesar un objeto sumergido en un fluido. (b) diagrama de fuerzas en el que puede verse el peso, w, le fuerza ejercida por el muelle F_β y las fuerzas F₁ y F₂ ejercidas por el fluido que lo rodea. (c) la fuerza ascensional o de flotación B= F₂ y F₁ es la fuerza neta ejercida por el fluido sobre el objeto.

Este resultado se conoce con el nombre de principio de Arquímedes.

Podemos deducir el principio de Arquímedes a partir de las leyes de Newton considerando las fuerzas que actúan sobre una porción de un fluido y observando que, cuando está en equilibrio estático, la fuerza neta sobre la misma debe ser nula. La figura  muestra las fuerzas verticales que actúan sobre un objeto que se pesa mientras está sumergido, es decir, la fuerza de la gravedad w dirigida hacia abajo; la fuerza del dinamómetro F_d  que actúa hacia arriba; una fuerza F_1, que actúa hacia abajo, debida a la presión del fluido sobre la superficie superior del objeto y una fuerza  F_2, que actúa  hacia arriba debida a la presión del fluido sobre la superficie inferior del objeto. Como la lectura del dinamómetro indica una fuerza inferior a su peso, la fuerza F₂  debe ser mayor en modulo que F_{1 .} La diferencia en módulo de estas dos fuerzas es la fuerza ascensional B= F_2- F₁  (figura 13.9c). La fuerza ascensional tiene lugar porque la presión del fluido en el fondo del cuerpo es mayor que en la parte superior.

En la figura  se prescinde del dinamómetro y el objeto sumergido se ha reemplazado por un volumen igual de fluido (indicado por líneas de puntos). La fuerza ascensional  B= F_2- F₁   que actúa sobre este volumen de fluido es la misma que actuaba sobre nuestro objeto original, ya que el flujo que lo rodea es el mismo. Como este volumen de fluido está en equilibrio, la fuerza resultante que actúa sobre él debe ser cero. La fuerza ascensional es igual al peso del fluido en este volumen:

Figura 13.10 la misma situación que se daba en la figura 13.9, pero ahora el objeto ha sido sustituido por un volumen igual del fluido. Las fuerzas F₁ y  F₂  debidas a la presión del fluido son las mismas que las fuerzas correspondientes ejercidas sobre el objeto en la figura 13.9. La fuerza ascensional o de empuje es igual al peso del fluido desplazado. Wf.

B= wf

Obsérvese que este resultado no depende de la forma del objeto sumergido. Si consideramos una porción cualquiera de forma irregular del fluido, sobre ella deberá actuar una fuerza ascensional debida al fluido que la rodea y que resulta ser igual al peso dicha porción. Por lo tanto, hemos deducido al principio de Arquímedes.

El rey Hieron II le había encomendado a Arquímedes (287-212a.C.) la tarea de determinar si una corona fabricada para él estaba hecha toda ella de oro o si, por el contrario, contenía algún metal más barato como la plata. El problema consistía en determinar la densidad de un objeto de forma irregular, como la corona, sin destruirlo. Según cuenta la historia, Arquímedes encontró la solución mientras se bañaba e inmediatamente echo a correr desnudo por las calles de Siracusa gritando “¡Eureka!” (“¡lo encontré!”). Este destello de comprensión precedió a las leyes de newton, a partir de las cuales puede deducirse el principio de Arquímedes, en 1900 años aproximadamente. Arquímedes encontró lo que se constituye un procedimiento simple y exacto para comparar la densidad de la corona con la densidad del oro utilizando una balanza. Puso la balanza en un cuenco y coloco la corona en un platillo y oro puro de igual masa en el otro. Entonces añadió agua al cuenco, sumergiendo la corona y el oro puro. La balanza oscilo, elevando la corona- indicando que la fuerza ascensional que actuaba sobre esta era mayor que la que actuaba sobre el oro, porque el volumen del agua desplazado por la corona era mayor que el desplazado por el oro puro. La corona era menos densa que el oro puro.

La densidad específica de un cuerpo es su peso dividido por el peso de un volumen igual de agua. Pero, de acuerdo con el principio de Arquímedes, el peso de un mismo volumen de agua es igual a la fuerza ascensional sobre el cuerpo cuando está sumergido en dicho líquido. Por consiguiente, es igual a la pérdida de peso del cuerpo cuando se pesa sumergido en agua. Así pues.

Densidad especifica =                                   peso                                    

                                    Fuerza ascensional cuando está sumergido en agua

                                                        = w  

                                                             B_agua               

 El peso aparente w_a  de un objeto sumergido en un fluido es la diferencia entre su peso w y le fuerza ascensional B.

W_ap = w – B

 (a)    La corona y la pepita de oro tienen                   (b) la corona desplaza más agua que la pepita de           el mismo peso.                                                             oro.

EJEMPLO 13.5 ¿Es oro?

 Una amiga está preocupada por un anillo de oro que compro en un viaje reciente. El anillo era caro y nuestra amiga quiere saber si realmente es de oro o si de otro material. Decidimos ayudarle usando nuestros conocimientos de física. Pesamos el anillo y encontramos que pesa 0,158 N. usando una cuerda lo colgamos de una balanza, lo sumergimos en agua y entonces pesa 0,150 N. ¿es de oro el anillo?

Planteamiento del problema si el anillo es de oro puro, su densidad especifica (su densidad relativa al agua) será de 19,3 (véase la tabla 13.1). Usando la ecuación 13.12 como referencia, determinar la densidad especifica del anillo.

     1.      La ecuación 13.12 relaciona la densidad especifica del anillo con el cociente entre su peso w y le fuerza de empuje B cuando está sumergido en agua.

Densidad especifica = w   =   w 

                                    B_agua      B

     2.      Cuando el cuerpo está sumergido, B se iguala con el peso menos el peso aparente w_ap:

B = W- W_ap

    3.      Se combinan los pasos 1y 2 y se despeja la densidad especifica:

Densidad especifica = w   =   w 

                                    B        w-w_ap

                                          =   O,158N            =  19,3

                                              0,158N-0,150N 

     4.      Se compara la densidad especifica del anillo con la densidad especifica del oro, que es 19,3:

19,3 -19,3    =  EL ANILLO ES ORO PURO

                                

Ejercicio        un bloqueo de un material desconocido pesa 3 N y tiene un peso aparente de 1,89 N cuando se sumerge en agua. ¿De qué material se trata? (respuesta la densidad especifica del material es 2,70, que es la densidad especifica del aluminio, por lo tanto el bloque es de aluminio.)

Ejercicio        un bloque de aluminio pesa 3N cuando está rodeado de aire. ¿Cuál es el peso real del bloque? (respuesta w_ap = w –B, donde B = P_aire Vg. De la tabla 13.1 se obtiene P_aire = 1,293 kg/ m³  y P_alum = 2,70x 10³ kg/m³. Por lo tanto, w = 3, 0014N, que es solo 0,048% mayor que el peso en aire. Evidentemente, la fuerza ascensional debida al aire actuando sobre líquidos o solidos puede usualmente ignorarse.  

    Ejercicio un pedazo de plomo (densidad especifica = 11,3) pesa 80 N en aire. ¿Cuánto pesa sumergido en agua? (respuesta 72,9 N.)       

Supongamos que la densidad del bloque es mayor que la densidad del fluido  del entorno. Y que tanto el bloque como el plato  de la balanza están completamente sumergidos en él. La fuerza gravitaría  que actúa sobre el bloque  vale w su peso, y la balanza esta ajuntada  de, modo que marca cero cuando el plato no aguanta  el bloque como se muestra en la figura  si se coloca en el bloque el plato de la balanza

 La lectura de la escala  es el peso aparente w _ap  del bloque. Cuando el bloque esta sobre la balanza, este está en contacto directo con el fluido, excepto con aquellos puntos de la base donde se apoya en el plano de la balanza. Si suponemos que este no es completamente plano, sino que tiene  rugosidades  el bloque únicamente se apoya en las regiones más altas del plano. (En las más bajas. El fondo del bloque está en contacto con el fluido) analicemos ahora esta situación para  saber la lectura de la escala de la balanza depende de el o en el del área del contacto de la superficies de bloque y del plato del a balanza  mientras el bloque descansa sobre el plato  de la balanza  la fuerza neta ejercida  por el fluido sobre el bloque  f_f  resulta de una combinación  de fuerza hacia abajo  ejercida por aquellas regiones  de la superficie interior del bloque  con las que está en contacto   si el fluido estuviera  en contacto  con una gran porción de la superficie  inferior del bloque, esta fuerza podría ir dirigida hacia arriba  las otras dos fuerzas verticales  que actúan sobre el bloque son la fuerza  gravitatoria w  y la fuerza hacia arriba f_p  ejercida por el plato en las regiones  de contacto directo se representa el bloque fuera de la balanza. Y en su lugar la cantidad equivalente  de fluido de forma y tamaño idénticos (representado por la línea descontinua)  las mismas regiones que estaban en contacto  con el bloque ahora  están  con la muestra de fluido  y en consecuencia las fuerzas que actúan  son la fuerza ejercida por el resto del fuido f_f  la fuerza hacia arriba ejercida por el plano f_p  y la fuerza gravitatoria  w_f  las fuerzas f_{f y} f_f´ son iguales ya que en cada punto  de contacto con  el fluido  y la muestra de fluido  las fuerzas son exactamente las mismas  que entre el fluido  y el bloque .

Cuando el bloque esta sobre el plato de la balanza.  Está en el equilibrio. Y por lo tanto, f _p= f_f + w, o bien.

f _{p -} f_{f- w=0}

Y cuando el bloque se saca del plato dela  balanza. La muestra de fluido que la remplaza  está en equilibrio .y por lo tanto

F_p´- f_f´-w_f = 0

Si se restan las dos ecuaciones  anteriores teniendo en cuenta  que f_f´_y= y se agrupan los términos, nos queda

F_p- f_f´-=w- w_f

En donde F_{p -} F_p´ corresponde al cambio de la lectura  cuando se saca el bloque del plano  de la balanza por lo tanto F_p- F_p´ es el modulo del peso aparente del bloque sumergido. Y en consecuencia.

^Wap=W-Wf

Normalmente  se denomina a w – w  fuerza esencial B  con lo cual resulta 

B =w - w_ap =  w_f

esta expresión para la fuerza esencial  coincide con la de la ecuación  que se estableció con el fluido estaba en contacto directo  con toda la superficie  del objeto sumergido.

MANOMETRO. TUBOS EN U

 manómetro de tubo abierto para medir una presión desconocida P. la deferencia P-Pat  es igual a pgh.

Otras unidades utilizadas comúnmente en los mapas meteorológicos son el bar y el milibar, definidos por

1 bar = 103 milibares = 100 k Pa

Una presión de 1 atm es aproximadamente un 1,3% más grande que la presión de un bar.

EJEMPLO 13.4    Presión de la sangre en el interior de la aorta

La presión manométrica medida en la aorta humana es de 100 mmHg aproximadamente. Convertir la presión sanguínea media en pascales.

Utilizamos los factores de conversión de la ecuación 13.9:

Cuadro de texto: 13,3 kPaP =100 mmHg   101,325kPa =

                           760 mm Hg

Ejercicio convertir una presión de 45 kPa en (a) milímetros de mercurio y (b) atmosferas (respuestas (a) 338 mmHg, (b) 0,444 atm.)

La relación entre la presión y la altura (o profundidad) es más complicada en un gas que un líquido, debido a que la densidad de un gas no es constante como un líquido, sino que depende de la presión. La presión de una columna de aire disminuye al aumentar la altitud considerada desde la superficie de la tierra, como sucede con la presión de una columna de agua, pero a diferencia de este caso, la disminución de presión con la altura no es lineal con la distancia. En lugar de ello, le presión del aire disminuye en una fracción constante para un incremento fijo dado de altura, como se ve en la figura 13.8. A una altitud de 5,5 km aproximadamente, la presión del aire es la mitad dela valor que tendría en la superficie del mar. Si ascendemos otros 5,5 km hasta una altitud de 11 km (altura típica de vuelo de un avión comercial), la presión se ha vuelto a reducir a la mitad, de modo que equivale a la cuarta parte de la que se tiene al nivel del mar, y así sucesivamente. Este ejemplo de decrecimiento exponencial se denomina “ley atmosférica”. Por ello, los aviones comerciales que vuelan a grandes alturas llevan sus cabinas presurizadas. Como la densidad del aire es proporcional a la presión, esta densidad también disminuye con la altura. Así, por ejemplo, se dispone de manos oxígeno en una montaña que a elevaciones normales, lo que hace más difícil la realización de ejercicios físicos en las montañas Rocosas, y ascender el Himalaya es peligroso.

 variación de la presión con la altura por encima de la superficie terrestre. Por cada 5,5 km de incremento de altura, le presión se reduce a la mitad.

PARADOJA HIDROSTATICA. VASOS COMUNICANTES

Paradoja hidrostática. El nivel del agua es el mismo en todos los recipientes con independencia de su forma. La porción sombreada del agua es soportada pos las paredes laterales del recipiente.

En la figura  se muestra agua en un recipiente formado por secciones de diferentes formas. En una primera observación, podría parecer que la presión en la sección 3 del recipiente sería la mayor y que el agua, por lo tanto, se vería forzada a subir a una mayor altura en la secciones más pequeñas del recipiente. El hecho de que estos no ocurran así se conoce con el nombre de la paradoja hidrostática. La presión solo depende de la profundidad del agua, no de la forma del recipiente, como puede demostrarse experimentalmente. Aunque el agua de la sección 4 que no está sobre la zona abierta esta soportada por las paredes horizontales del contenedor. De hecho, el agua que hay por encima de la zona abierta en le sección 5 pesa menos que la que hay por encima en la sección 1. Sin embargo, el contenedor horizontal de la sección 5 ejerce una fuerza hacia abajo sobre el agua que compensa exactamente su menor peso. Para medir presiones desconocidas podemos utilizar el resultado de que le diferencia de presión es proporcional a la profundidad. En la figura se muestra un medidor de presión simple, el manómetro de tubo abierto. La parte superior del tubo se encuentra abierta y por lo tanto a la presión atmosférica P_at . el otro extremo del tubo se encuentra a la presión P que se desea medir. La diferencia P-P_at es igual a pgh, en donde p es la densidad del líquido en el tubo, y se denomina presión manométrica. La presión que se mide en la cámara de la rueda en un coche es la presión manométrica. Cuando la cámara se encuentra completamente deshinchada, la presión manométrica es igual a cero, y la presión absoluta de la llanta es igual a la presión atmosférica. La presión absoluta P se obtiene a partir de la presión manométrica sumándole la presión atmosférica.

P= P manométrica + P_at

En la figura se muestra un barómetro de mercurio utilizado para medir la presión atmosférica. La parte superior del tubo está cerrada y se le ha hecho el vacío de forma que la presión en su interior es igual a cero. El otro extremo se encuentra abierto y a la presión atmosférica P_at. La presión P_at es pgh, donde p es la densidad del mercurio.

Ejercicio A 0 ⁰C, la densidad del mercurio es de 13,595x10³ kg/m³. ¿Cuál es la altura de la columna en un barómetro de mercurio si la presión es 1 atm = 101,325 kPa? (respuesta h= P/pg= 0,760m= 760mm.)

En la práctica, la presión se mide frecuénteme en milímetros de mercurio (unidad llamada comúnmente torr en honor del físico italiano Torricelli) o en pulgadas de mercurio (escrito pulHg). Estas unidades de presión se relacionan entre si del modo siguiente:

1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 29,9 pulHg

= 101,325 kPa = 14.7 Ib/ pulg² 

Principio de pascal

 PRINCIPIO DE PASCAL

Una aplicación común del principio da Pascal lo constituye el elevador hidráulico indicado en la figura 

Prensa o elevador hidráulico. Una fuerza pequeña F₁ ejercida sobre el embolo o pistón pequeño produce una variación de presión F₁/A₁ que se transmite por el líquido hasta el embolo grande. Como las presiones en los pistones grande y pequeño son iguales, las fuerzas correspondientes cumplen la relación F₂/A₂ =  F₁/A_1. Como el área del pistón grande es mucho mayor que el del pistón pequeño, la fuerza sobre el pistón grande F_{2 =} (A₂/A₂)  F₁ es mucho mayor que F_v

EJEMPLO    EL elevador hidráulico

El embolo grande de un elevador hidráulico tiene un radio de 20cm. ¿Qué fuerza debe aplicarse al embolo pequeño de radio 2 cm para elevar un coche de masa 1500kg?

Planteamiento del problema. La presión P multiplicada por el área A₂ del pistón grande debe ser al peso mg del coche. La fuerza que debe ejercerse sobre el pistón pequeño F₁  es esta misma presión multiplicada por el área A₁ 

        1.       La  fuerza F₁  es la presión P multiplicada por el área A₁:     

  F_{1 =} PA₁

        2.      La presión multiplicada por el área A₂ debe ser igual al peso del coche:

PA₂ =mg,  de modo que P = mg

                                              A₂

        3.      Utilizar este resultado de P para calcular F₁

F₁ = PA =  mg  A₁ =  mg A₁  =   mg πr²₁

                   A₂                A₂                 πr²₂

        = (1500 kg) (9,81 N/kg) (2cm)²  

                                            (20cm)

                                                             =147 N.

                                         

2. PRESIÓN DE UN FLUIDO

2. PRESIÓN EN UN FLUIDO

Cuando se sumerge un cuerpo en un fluido como el agua, el fluido ejerce una fuerza perpendicular a la superficie del cuerpo en cada punto de la superficie. Esta fuerza por unidad de área se denomina presión P del fluido:

P=   F

                                   A                           

• DEFINICIÓN –PRESIÓN

La unidad de presión en el SI es el newton por metro cuadrado (N/m²), que recibe el nombre de pascal (Pa):

1Pa= 1 N/m²

En el sistema técnico inglés, la presión normalmente se expresa en libras por pulgada cuadrada (Ib/pulg²). Otra unidad común es la atmosfera (atm), que es aproximadamente la presión del aire a nivel del mar. Actualmente la atmosfera se define como 101, 325 kilopascales, que es aproximadamente igual a 14,70 Ib/pulg²:

1atm=101,325kPa=14,70 Ib/pulg²

Posteriormente veremos otras unidades de presión de uso común.

La presión debida a un fluido que presiona contra un cuerpo tiende a comprimido. El cociente entre el cambio de presión y la disminución relativa al volumen (-ΔV/V) se denomina módulo de compresibilidad B:

     B = - ΔP   

             ΔV/V

• DEFINICIÓN- MODULO DE COMPRESIBILDAD

(El signo menos en la ecuación se introduce para que B sea positivo, ya que todos los materiales cuando están sometidos a un aumento de la presión externa disminuyen de volumen.)

Cuanto más difícil de comprimir es un sólido, menor es su cambio relativo –ΔV/V para una determinada presión ΔP y, por lo tanto, mayor es su módulo de compresibilidad. La compresibilidad es la inversa del módulo de compresibilidad. Líquidos, gases y sólidos, todos tienen un módulo de compresibilidad. Los líquidos y los sólidos son relativamente incomprensibles; es decir, poseen valores grandes del módulo de compresibilidad B, siendo estos valores relativamente independientes de la temperatura y la presión. Por el contrario, los gases se pueden comprimir fácilmente, y los valores de B dependen fuertemente de la presión y la temperatura. La tabla .2 indica los valores del módulo de compresibilidad para diversos materiales.

 

TABLA .2 valores aproximados del módulo de compresibilidad B de varios materiales

la presión de todos los líquidos aumenta lineal mente con la profundidad en cualquier recipiente independiente de su forma. ademas la presion es la misma en todos los puntos que estan a una misma profundidad. estas dos propiedades se pueden ver comparando la presion  en el punto 1 de la fig a con la presion en el punto 2  que esta situado en una cueva bajo el agua . Consideramos las fuerzas verticales en la columna de agua de altura  Δh y área transversal A a la que relaciona con los puntos 1 y 3 . la fuerza hacia arriba sobre la columna P₃A, compensa las dos fuerzas hacia abajo, P₁A y mg. donde= pAΔh es la masa del agua de la columna (AΔh es el volumen de la columna). Es decir, P₃A = P₁A + pAΔhg. Dividiendo por A resulta:

P_{3 =} P₁ + pgΔgh

Consideramos ahora las fuerzas que actúan sobre el cilindro horizontal de agua, también de área transversal A, que conecta los puntos 2 y 3 (figura 13.3 _C). Hay dos fuerzas con componentes que van en la dirección del eje del cilindro, P₃A y  P₂A. El hecho de que estas dos fuerzas se compensen una a otra significa que P₃ =  P₂. Se sigue entonces que:

P₂ =  P₁ + pgΔgh

Así pues, si aumentamos P_β presionando por ejemplo sobre la superficie superior con un embolo, el aumento de presión es el mismo es el mismo en todo el seno del líquido, lo cual se conoce como principio de pascal, en honor de Blaise Pascal (1623-1662):

Un cambio de presión aplicado a un líquido encerrado dentro de un recipiente se transmite por igual a todos los puntos de fluido y a las propias paredes del recipiente.